Question

用长为16米的篱笆，借助墙角围成一个矩形ABCD（如图），在P处有一棵树与两墙的距离分别为a米（0＜a＜12）和4米．若此树不圈在矩形外，求矩形ABCD面积的最大值M．

Answer 1

解：设AB=x，则AD=16-x，依题意得，
即4≤x≤16-a（0＜a＜12）（2分）
S_ABCD=x（16-x）=64-（x-8）²．（6分）
（1）当16-a＞8，即0＜a＜8时，
f（x）_max=f（8）=64（10分）
（2）当16-a≤8，即8≤a＜12时，
f（x）在[4，16-a]上是增函数，（14分）
∴f（x）_max=f（16-a）=-a²+16a，
故．（16分）
分析：先设AB=x，则AD=16-x，依题意建立不等关系得出x的取值范围，再写出S_ABCD=的函数解析式，下面分类讨论：（1）当16-a＞8（2）当16-a≤8，分别求出矩形ABCD面积的面积值即可．
点评：构造二次函数模型，函数解析式求解是关键，然后利用配方法、数形结合法等方法求解二次函数最值，但要注意自变量的实际取值范围，本题求出的函数是分段函数的形式，在分段函数模型的构造中，自变量取值的分界是关键点，只有合理的分类，正确的求解才能成功地解题．