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已知函数 $数学公式$ 是奇函数．
（1）求a的值；
（2）判断函数f（x）的单调性，并用定义证明；
（3）求函数的值域．

解：（1）f（x）的定义域为R，且为奇函数，∴f（0）=0，
∴a=1
（2）由（1）知 $\text{[math]}$ ，所以f（x）为增函数
证明：任取x₁＜x₂∈R
f（x₁）-f（x₂）=1- $\text{[math]}$ -1+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∵x₁＜x₂∈R∴ $\text{[math]}$
∴f（x₁）-f（x₂）＜0即f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）为R上的增函数．
（3）令 $\text{[math]}$ 则 $\text{[math]}$
而2^x＞0∴ $\text{[math]}$
∴-1＜y＜1
所以函数f（x）的值域为（-1，1）
分析：（1）根据函数f（x）为定义域为R的奇函数，则f（0）=0，代入解析式可求出a的值；
（2）由（1）知 $\text{[math]}$ ，所以f（x）为增函数，任取x₁＜x₂∈R，然后判定f（x₁）-f（x₂）的符号，根据函数单调性的定义即可判定；
（3）令 $\text{[math]}$ ，求出2^x，根据2^x的范围可求出y的范围，从而求出函数的值域．
点评：本题主要考查了函数的奇偶性，以及函数的单调性和函数的值域，属于中档题．

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x-1

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x+1

x-1

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x+1

x-1

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B．2个

C．3个

D．0个

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