Question

14．已知常数λ∈R，且λ≠0，数列{a_n}满足a₁=$\frac{1}{3}$，a_n+1=$\frac{λ{a}_{n}}{2{a}_{n}+1}$，n∈N^*．
（1）若λ=1，求证：数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}为等差数列；
（2）若λ=2，求证：数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$-2}为等比数列；
（3）是否存在实数λ与前n项和为S_n的等比数列{b_n}，使得对任意n∈N^*，a_n=$\frac{{b}_{n}}{{S}_{n}+2}$恒成立？如果存在，求出λ与数列{b_n}的通项公式；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）通过λ=1，对a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{2{a}_{n}+1}$两边取倒数，进而可得结论；
（2）通过λ=2，对a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{2{a}_{n}+1}$变形可得$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-2=$\frac{1}{2}$•（$\frac{1}{{a}_{n}}$-2），进而可得结论；
（3）假设存在实数λ与前n项和为S_n的等比数列{b_n}满足条件，分别令n=1、2、3，代入计算可得b₁=1、λ=$\frac{5}{3}$或λ=2，分λ=$\frac{5}{3}$、λ=2两种情况讨论即可．

解答 证明：（1）∵λ=1，
∴a_n+1=$\frac{λ{a}_{n}}{2{a}_{n}+1}$=$\frac{{a}_{n}}{2{a}_{n}+1}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{2{a}_{n}+1}{{a}_{n}}$=2+$\frac{1}{{a}_{n}}$，
即$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=2，
又∵a₁=$\frac{1}{3}$，∴$\frac{1}{{a}_{1}}$=3，
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以3为首项、2为公差的等差数列；
（2）∵λ=2，
∴a_n+1=$\frac{λ{a}_{n}}{2{a}_{n}+1}$=$\frac{2{a}_{n}}{2{a}_{n}+1}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{2}$•$\frac{2{a}_{n}+1}{{a}_{n}}$=1+$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{{a}_{n}}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-2=1+$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{{a}_{n}}$-2=$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{{a}_{n}}$-1=$\frac{1}{2}$•（$\frac{1}{{a}_{n}}$-2），
又∵a₁=$\frac{1}{3}$，∴$\frac{1}{{a}_{1}}$-2=3-2=1，
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$-2}是以1为首项、$\frac{1}{2}$为公比的等比数列；
（3）结论：存在实数λ=2与通项为b_n=2^n-1的等比数列{b_n}满足题意．
理由如下：
假设存在实数λ与前n项和为S_n的等比数列{b_n}满足条件，
则当n=1时，有：a₁=$\frac{{b}_{1}}{{b}_{1}+2}$，
又∵a₁=$\frac{1}{3}$，∴b₁=1；
当n=2时，有：a₂=$\frac{{b}_{2}}{{b}_{1}+{b}_{2}+2}$，
又∵a₂=$\frac{λ{a}_{1}}{2{a}_{1}+1}$=$\frac{\frac{1}{3}λ}{2•\frac{1}{3}+1}$=$\frac{λ}{5}$，
∴$\frac{λ}{5}$=$\frac{{b}_{2}}{3+{b}_{2}}$，解得b₂=$\frac{3λ}{5-λ}$；
当n=3时，有：a₃=$\frac{{b}_{3}}{{b}_{1}+{b}_{2}+{b}_{3}+2}$，
又∵a₃=$\frac{λ{a}_{2}}{2{a}_{2}+1}$=$\frac{λ•\frac{λ}{5}}{2•\frac{λ}{5}+1}$=$\frac{{λ}^{2}}{2λ+5}$，
b₃=$\frac{{{b}_{2}}^{2}}{{b}_{1}}$=（$\frac{3λ}{5-λ}$）²，
∴$\frac{{λ}^{2}}{2λ+5}$=$\frac{（\frac{3λ}{5-λ}）^{2}}{1+\frac{3λ}{5-λ}+（\frac{3λ}{5-λ}）^{2}+2}$，
整理得：3λ²-11λ+10=0，
解得：λ=$\frac{5}{3}$或λ=2，
下面分情况讨论：
①当λ=$\frac{5}{3}$时，b₂=$\frac{3λ}{5-λ}$=$\frac{3}{2}$，
∴b_n=$（\frac{3}{2}）^{n-1}$，S_n=$\frac{1-（\frac{3}{2}）^{n}}{1-\frac{3}{2}}$=-2+$\frac{1}{2}•$$（\frac{3}{2}）^{n}$，
∴S_n+2=$\frac{1}{2}•$$（\frac{3}{2}）^{n}$，$\frac{{b}_{n}}{{S}_{n}+2}$=$\frac{4}{3}$，
另一方面有：a_n+1=$\frac{\frac{5}{3}{a}_{n}}{2{a}_{n}+1}$=$\frac{5{a}_{n}}{6{a}_{n}+3}$，
显然对任意n∈N^*，a_n+1=$\frac{{b}_{n+1}}{{S}_{n+1}+2}$不恒成立，
∴λ=$\frac{5}{3}$不满足题意；
②当λ=2时，b₂=$\frac{3λ}{5-λ}$=2，
∴b_n=2^n-1，S_n=$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$=2ⁿ-1，
∴S_n+2=2ⁿ+1，$\frac{{b}_{n}}{{S}_{n}+2}$=$\frac{{2}^{n-1}}{{2}^{n}+1}$，
由（2）知此时数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$-2}是以1为首项、$\frac{1}{2}$为公比的等比数列，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$-2=$\frac{1}{{2}^{n-1}}$，∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=2+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$=$\frac{{2}^{n}+1}{{2}^{n-1}}$，
∴a_n=$\frac{{2}^{n-1}}{{2}^{n}+1}$，
∴a_n=$\frac{{2}^{n-1}}{{2}^{n}+1}$=$\frac{{b}_{n}}{{S}_{n}+2}$，
∴λ=2满足题意；
综上所述：存在实数λ=2与通项为b_n=2^n-1的等比数列{b_n}满足题意．

点评 本题考查求数列的通项，考查运算求解能力，考查分析问题、解决问题的能力，注意解题方法的积累，属于难题．