Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为，且直线l经过曲线C的左焦点F．

（1）求直线l的普通方程；

（2）设曲线C的内接矩形的周长为L，求L的最大值．

Answer 1

【答案】（1）x＋2y＋1＝0（2）

【解析】

(1)由极坐标化直角坐标的公式可得到曲线C的普通方程，消去参数t可得到直线普通方程，再代入F点坐标可得到直线方程；（2）椭圆C的内接矩形在第一象限的顶点为（，sinθ）内接矩形的周长为，化一求最值即可.

（1）因为曲线C的极坐标方程为，即ρ2＋ρ2sin2θ＝2．

将ρ2＝x2＋y2，ρsinθ＝y，代入上式，得

x2＋2y2＝2，即．

所以曲线C的直角坐标方程为．

于是c2＝a2－b2＝1，所以F（－1，0）．

由消去参数t，

得直线l的普通方程为．

将F（－1，0）代入直线方程得．

所以直线l的普通方程为x＋2y＋1＝0．

（2）设椭圆C的内接矩形在第一象限的顶点为（，sinθ）（），

所以椭圆C的内接矩形的周长为（其中），故椭圆C的内接矩形的周长的最大值．