Question

【题目】如图，某旅游区拟建一主题游乐园，该游乐区为五边形区域ABCDE，其中三角形区域ABE为主题游乐区，四边形区域为BCDE为休闲游乐区，AB、BC，CD，DE，EA，BE为游乐园的主要道路（不考虑宽度）．∠BCD=∠CDE=120°，∠BAE=60°，DE=3BC=3CD=3km．

（1）求道路BE的长度；
（2）求道路AB，AE长度之和的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：如图，连接BD，

在△BCD中，由余弦定理可得：BD2=BD2+CD2﹣2BCCDcos∠BCD=1+1﹣2×1×1×（﹣ ）=3，

∴BD= ，

∵BC=CD，

∴∠CDB=∠CBD= =30°，

又∵∠CDE=120°，

∴∠BDE=90°，

∴在Rt△BDE中，BE= = =2

（2）解：设∠ABE=α，∵∠BAE=60°，∴∠AEB=120°﹣α，

在△ABE中，由正弦定理，可得： ，

∵ =4，

∴AB=4sin（120°﹣α），AE=4sinα，

∴AB+AE=4sin（120°﹣α）+4sinα

=4（ ）+4sinα

=2 cosα+6sinα

=4 sin（α+30°），

∵0°＜α＜120°，

∴30°＜α+30°＜150°，

∴当α+30°=90°，即α=60°时，AB+AE取得最大值4 km，即道路AB，AE长度之和的最大值为4 km

【解析】（1）连接BD，由余弦定理可得BD，由已知可求∠CDB=∠CBD=30°，∠CDE=120°，可得∠BDE=90°，利用勾股定理即可得解BE的值．（2）设∠ABE=α，由正弦定理，可得AB=4sin（120°﹣α），AE=4sinα，利用三角函数恒等变换的应用化简可得AB+AE=4 sin（α+30°），结合范围30°＜α+30°＜150°，利用正弦函数的性质可求
AB+AE的最大值，从而得解．
【考点精析】利用正弦定理的定义和余弦定理的定义对题目进行判断即可得到答案，需要熟知正弦定理:；余弦定理:;;．