Question

4．在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是线段OD中点，AE的延长线交DC于点F，若$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow a$，$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow b$，则$\overrightarrow{AF}$=（　　）

• A． $\frac{1}{3}\overrightarrow a+\overrightarrow b$
• B． $\frac{1}{2}\overrightarrow a+\overrightarrow b$
• C． $\overrightarrow a+\frac{1}{3}$$\overrightarrow b$
• D． $\overrightarrow a+\frac{1}{2}\overrightarrow b$

Answer 1

分析 化简可得$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{DE}$=$\frac{1}{4}$（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）+$\overrightarrow{b}$=$\frac{1}{4}$（$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow{b}$），再由$\overrightarrow{AF}$∥$\overrightarrow{AE}$及选项可得答案．

解答 解：由题意得，
$\overrightarrow{DE}$=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{DB}$=$\frac{1}{4}$（$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AD}$）=$\frac{1}{4}$（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$），
$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{DE}$=$\frac{1}{4}$（$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）+$\overrightarrow{b}$=$\frac{1}{4}$（$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow{b}$）；
∵A、E、F三点共线，
∴$\overrightarrow{AF}$∥$\overrightarrow{AE}$，
结合选项可知，$\overrightarrow{AF}$=$\frac{1}{3}\overrightarrow a+\overrightarrow b$；
故选A．

点评 本题考查了平面向量的基本定理的应用，属于基础题．