Question

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，求证：A₁C⊥平面BC₁D．

Answer 1

证明：连接AC交BD于一点O，
在正方形ABCD中，BD⊥AC，
又正方体中，AA₁⊥平面ABCD，
所以，AA₁⊥BD，又AA₁∩AC=A，
所以BD⊥平面CAA₁又A₁C?平面CAA₁
所以A₁C⊥BD，连接B₁C交BC₁于一点O，
同理可证A₁C⊥BC₁，又 BC₁交BD于一点B，
所以A₁C⊥平面BC₁D
分析：要证明A₁C⊥平面BC₁D，只需证明直线A₁C垂直于平面BC₁D内的两条相交直线即可，故只需证明A₁C⊥BD，A₁C⊥BC₁即可．
点评：本题考查直线与平面位置关系中的垂直问题，证明思路是：要证线面垂直，需证线线垂直，在证明线线垂直过程中，往往需要通过证明线面垂直来实现，要注意线面垂直、线线垂直间的相互转化．