Question

【题目】已知直线L: y＝x＋m与抛物线y2＝8x交于A、B两点（异于原点），

（1）若直线L过抛物线焦点，求线段 |AB|的长度；

（2）若OA⊥OB ，求m的值；

Answer 1

【答案】(1)m =－2,|AB|=16；(2)m=-8.

【解析】

（1）把直线方程与抛物线方程联立消去y，根据韦达定理表示出x1+x2和x1x2，利用弦长公式可求；
（2）由于OA⊥OB，从而有x1x2+y1y2=0，利用韦达定理可得方程，从而求出m的值．

(1)设A(x1,y1)、B(x2,y2)，抛物线y2＝8x的焦点坐标为(2,0)

直线L: y＝x＋m过点(2,0)，得m=2,

直线L:y=x2与抛物线y2=8x联立可得x212x+4=0，

∴x1+x2=12, x1x2=4，

∴.

(2)联立，得

.

∵OA⊥OB,∴

.

m=0或m=8,

经检验m=8.