Question

【题目】已知分别是椭圆的左、右焦点， 是椭圆上一点，且.

（1）求椭圆的方程；

（2）设直线与椭圆交于两点，且，试求点到直线的距离.

Answer 1

【答案】(1) ;(2) 原点到直线的距离.

【解析】试题分析：（1）根据等式关系可得，求出c值，然后结合椭圆定义和已知等式关系联立方程即可得a，进而求出标准方程；（2）先验证斜率不存在时情况，然后再讨论斜率存在时，由得: ，故设，得，连立方程得出韦达定理代入等式得k，n的关系，在计算距离即可得出结论.

解析：（Ⅰ）由得: ，化简得： ，

解得： 或

因为，所以，

因为

所以，则，又，

所以椭圆的标准方程为： ；

（Ⅱ）由题意可知，直线不过原点，设，

①直线轴，直线的方程且，

则

由得: ,

即，解得： ，

故直线的方程为，∴原点到直线的距离，

②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，

则，消去整理得： ，

， ，

则=

由得,

故+，

整理得： ，

即 ①

原点到直线的距离， ②

将①代入②，则，∴，

综上可知：原点到直线的距离．