A. | $\frac{3\sqrt{3}}{4}$ | B. | $\frac{5\sqrt{3}}{4}$ | C. | $\frac{1}{4}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$ | D. | $\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{4}$ |
分析 过C作CD⊥AB,交AB于点D,过P作PE⊥平面ABC,交CD于点E,求出DE=$\frac{\sqrt{3}}{6}$,PD=2DE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$,CD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,此棱锥的表面积S=S△ABC+3S△PAB,由此能求出结果.
解答 解:∵正三棱锥P-ABC中,底面是正三角形,P在底面内的射影是正三角形的中心.
AB=1,侧面和底面所成的角是60°,
∴过C作CD⊥AB,交AB于点D,过P作PE⊥平面ABC,交CD于点E,
则D为AB中点,E为△ABC重心,∠PDE=60°,
∴DE=$\frac{1}{3}CD$=$\frac{1}{3}\sqrt{1-\frac{1}{4}}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$,PD=2DE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$,CD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,
∴此棱锥的表面积:
S=S△ABC+3S△PAB
=$\frac{1}{2}×AB×CD+3×\frac{1}{2}×AB×PD$
=$\frac{1}{2}×1×\frac{\sqrt{3}}{2}+3×\frac{1}{2}×1×\frac{\sqrt{3}}{3}$
=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$.
故选:A.
点评 本题考查三棱锥的表面积的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.
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