Question

6．在△ABC中，“$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BC}$＞0”是“△ABC是钝角三角形的”充分不必要条件．

Answer 1

分析 利用平面向量的数量积运算法则化简已知的不等式，得到两向量的夹角为锐角，从而得到三角形的内角为钝角，即可得到三角形为钝角三角形；反过来，三角形ABC若为钝角三角形，可得B不一定为钝角，故原不等式不一定成立，可得前者是后者的充分不必要条件．

解答 解：∵$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BC}$＞0，即|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{BC}$|cosθ＞0，
∴cosθ＞0，且θ∈（0，π），
所以两个向量的夹角θ为锐角，
又两个向量的夹角θ为三角形的内角B的补角，
所以B为钝角，所以△ABC为钝角三角形，
反过来，△ABC为钝角三角形，不一定B为钝角，
则“$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BC}$＞0”是“△ABC为钝角三角形”的充分条件不必要条件．
故答案为：充分不必要．

点评 此题考查了三角形形状的判断，涉及的知识有平面向量的数量积运算，以及充分必要条件的证明，熟练掌握平面向量的数量积运算法则是解本题的关键．