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8.已知椭圆C:$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$(a>b>0)的左,右焦点分别为F1,F2,上顶点为B.Q为抛物线y2=24x的焦点,且$\overrightarrow{{F_1}B}•\overrightarrow{QB}=0$,$2\overrightarrow{{F_1}{F_2}}+\overrightarrow{Q{F_1}}$=0
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)过定点P(0,4)的直线l与椭圆C交于M,N两点(M在P,N之间),设直线l的斜率为k(k>0),在x轴上是否存在点A(m,0),使得以AM,AN为邻边的平行四边形为菱形?若存在,求出实数m的取值范围;若不存在,请说明理由.

分析 (Ⅰ)由已知Q(6,0),F1B⊥QB,|QF1|=4c=6+c,解得c=2. 在Rt△F1BQ中,|BF2|=2c=a,所以a=4,由此能求出椭圆C的标准方程.
(Ⅱ)设l:y=kx+4(k>0),M(x1,y1),N(x2,y2),取MN的中点为E(x0,y0).假设存在点A(m,0),使得以AM,AN为邻边的平行四边形为菱形,联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+4}\\{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1}\end{array}\right.$⇒(4k2+3)x2+32kx+16=0,由此利用韦达定理结合已知条件能求出实数m的取值范围.

解答 解:(Ⅰ)由已知Q(6,0),F1B⊥QB,
|QF1|=4c=6+c,所以c=2. …(1分)
在Rt△F1BQ中,F2为线段F1Q的中点,
故|BF2|=2c=4,所以a=4.…(2分)
于是椭圆C的标准方程为$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$.
(Ⅱ)设l:y=kx+4(k>0),M(x1,y1),N(x2,y2),取MN的中点为E(x0,y0).
假设存在点A(m,0),使得以AM,AN为邻边的平行四边形为菱形,则AE⊥MN.
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+4}\\{\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1}\end{array}\right.$⇒(4k2+3)x2+32kx+16=0
△>0⇒k$>\frac{1}{2}$.$\frac{-32k}{4{k}^{2}+3}$∴$\frac{-16k}{4{k}^{2}+3}$,y0=kx0+4=$\frac{12}{4{k}^{2}+3}$.
因为AE⊥MN,所以kAE=-$\frac{1}{k}$.
$\frac{12}{4{k}^{2}+3}=-\frac{1}{k}×(-\frac{16k}{4{k}^{2}+3}-m)$⇒m=-$\frac{4k}{4{k}^{2}+3}=-\frac{4}{4k+\frac{3}{k}}$.
∵$k>\frac{1}{2}$,∴$4k+\frac{3}{k}≥4\sqrt{3},\frac{1}{4k+\frac{3}{k}}∈(0,\frac{\sqrt{3}}{12}]$
所以m$∈[-\frac{\sqrt{3}}{3},0]$.

点评 本题考查椭圆C的标准方程的求法,考查在x轴上是否存在点A(m,0),使得以AM,AN为邻边的平行四边形为菱形的确定与实数m的取值范围的求法,解题时要认真审题,注意函数与方程思想的合理运用.

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[-2,-1)80.16
(1,2]0.50
(2,3]10
(3,4]0.04
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(1)表格①②③④缺少的数据分别是什么?
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