Question

在如图所示的几何体中，AE⊥平面ABC，CD∥AE，F是BE的中点，AC=BC=1，∠ACB=90°，AE=2CD=2．
（Ⅰ）证明DF⊥平面ABE；
（Ⅱ）求二面角A-BD-E的余弦值．

Answer 1

分析：（1）将DF平移到CG的位置，欲证DF⊥平面ABE，即证CG⊥平面ABE，根据线面垂直的判定定理可知，只需证CG与平面ABE内的两相交直线垂直即可；
（2）过点A作AM⊥BE于M，过点M作MN⊥BD于N，连接AN，∠ANM是二面角A-BD-E的平面角，在Rt△AMN中利用余弦定理求出此角．

解答：解：（Ⅰ）取AB的中点G，连接CG、FG．
因为CD∥AE，GF∥AE，所以CD∥GF．
又因为CD=1，GF=

1

2

AE=1，所以CD=GF．
所以四边形CDFG是平行四边形，DF∥CG．（2分）
在等腰Rt△ACB中，G是AB的中点，所以CG⊥AB．
因为EA⊥平面ABC，CG?平面ABC，所以EA⊥CG．
而AB∩EA=A，所以CG⊥平面ABE．
又因为DF∥CG，所以DF⊥平面ABE．（6分）

（Ⅱ）因为DF⊥平面ABE，DF?平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABE．
过点A作AM⊥BE于M，则AM⊥平面BDE，所以AM⊥BD．
过点M作MN⊥BD于N，连接AN，则BD⊥平面AMN，所以BD⊥AN．
所以∠ANM是二面角A-BD-E的平面角．（10分）
在Rt△ABE中，AM=

AE•AB

BE

=

2 2

6

=

2 3

3

．
因为AD=BD=AB=

2

，所以△ABD是等边三角形．又AN⊥BD，所以AN=

3

2

AB=

6

2

，NM=

6

6

．
在Rt△AMN中，cos∠ ANM=

NM

AN

=

6

6

×

2

6

=

1

3

．
所以二面角A-BD-E的余弦值是

1

3

．（12分）

点评：本题主要考查线面关系及面面关系的基础知识，同时考查空间想象能力和逻辑推理能力．