【题目】如图所示,在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AA1=AD=1,E为CD的中点.
(1)求证:B1E⊥AD1
(2)若二面角A﹣B1E﹣A1的大小为30°,求AB的长.
【答案】
(1)证明:(以A为原点, , , 的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向,
建立如图所示的空间直角坐标系.
设AB=a,则A(0,0,0),D(0,1,0),D1(0,1,1),E( ,1,0),B1(a,0,1),
=(a,0,1), =( ,1,0), =(0,1,1), =(﹣ ,1,﹣1)
∵ =﹣ ×0+1×1+(﹣1)×1=0,
∴B1E⊥AD1.
(2)解:连结A1D,B1C,由长方体ABCDA1B1C1D1及AA1=AD=1,得AD1⊥A1D.
∵B1C∥A1D,∴AD1⊥B1C.
又由(1)知B1E⊥AD1,且B1C∩B1E=B1,
∴AD1⊥平面DCB1A1,
∴ =(0,1,1)是平面A1B1E的一个法向量,
设平面AB1E的法向量 =(x,y,z),
则 ,取x=1,得 =(1,﹣ ,﹣a),
∵二面角AB1EA1的大小为30°,
∴|cos< >|=cos 30°,即 = = ,
解得a=2,即AB的长为2.
【解析】(1)以A为原点, , , 的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向,建立空间直角坐标系,利用向量法能证明B1E⊥AD1 . (2)求出平面A1B1E的一个法向量和平面AB1E的法向量,由二面角A﹣B1E﹣A1的大小为30°,利用向量法能求出AB的长
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【题目】椭圆的中心在原点O,短轴长为 ,左焦点为F(﹣c,0)(c>0),直线 与x轴交于点A,且 ,过点A的直线与椭圆相交于P,Q两点.
(1)求椭圆的方程.
(2)若 ,求直线PQ的方程.
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【题目】函数f(x)=2sin(2x+ ),g(x)=mcos(2x﹣ )﹣2m+3(m>0),若对任意x1∈[0, ],存在x2∈[0, ],使得g(x1)=f(x2)成立,则实数m的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
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【题目】已知函数f(x)定义域为[0,+∞),当x∈[0,1]时,f(x)=sinπx,当x∈[n,n+1]时,f(x)= ,其中n∈N,若函数f(x)的图象与直线y=b有且仅有2016个交点,则b的取值范围是( )
A.(0,1)
B.( , )
C.( , )
D.( , )
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【题目】据调查分析,若干年内某产品关税与市场供应量P的关系近似地满足:y=P(x)=2 ,(其中,t为关税的税率,且t∈[0, ),x为市场价格,b,k为正常数),当t= 时的市场供应量曲线如图.
(Ⅰ)根据图象求b,k的值;
(Ⅱ)若市场需求量为Q(x)=2 ,当p=Q时的市场价格称为市场平衡价格,当市场平衡价格保持在10元时,求税率t的值.
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【题目】直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,底面ABCD为菱形,且∠BAD=60°,A1A=AB,E为BB1延长线上的一点,D1E⊥面D1AC.设AB=2.
(1)求二面角E﹣AC﹣D1的大小;
(2)在D1E上是否存在一点P,使A1P∥面EAC?若存在,求D1P:PE的值;不存在,说明理由.
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