Question

【题目】在直角坐标系x0y中，把曲线α为参数)上每个点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到曲线以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程

（1）写出的普通方程和的直角坐标方程；

（2）设点M在上，点N在上，求|MN|的最小值以及此时M的直角坐标.

Answer 1

【答案】（1）的普通方程为，的直角坐标方程为. （2）最小值为，此时

【解析】

（1）由的参数方程消去求得的普通方程，利用极坐标和直角坐标转化公式，求得的直角坐标方程.

（2）设出点的坐标，利用点到直线的距离公式求得最小值的表达式，结合三角函数的指数求得的最小值以及此时点的坐标.

（1）由题意知的参数方程为（为参数）

所以的普通方程为.由得，所以的直角坐标方程为.

（2）由题意，可设点的直角坐标为，

因为是直线，所以的最小值即为到的距离，

因为．

当且仅当时，取得最小值为，此时的直角坐标为即．