Question

15．在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、E₁分别是BC和B₁C₁中点，则：
（1）点B到A₁E₁的距离为$\frac{\sqrt{30}}{5}$；
（2）点B₁到平面A₁BE₁的距离为$\frac{\sqrt{6}}{6}$；
（3）直线AE到平面A₁BE₁的距离为$\frac{\sqrt{6}}{6}$；
（4）平面AEC₁与平面A₁BE₁的距离为$\frac{\sqrt{6}}{6}$；
（5）A₁在正方体表面上到点E的最短距离为$\frac{\sqrt{13}}{2}$．

Answer 1

分析 利用勾股定理，等体积转化，平面图形的展开图，即可求出距离．

解答 解：（1）设点B₁到A₁E₁的距离为h，则h=$\frac{1•\frac{1}{2}}{\sqrt{1+\frac{1}{4}}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$
∴点B到A₁E₁的距离为$\sqrt{1+\frac{1}{5}}$=$\frac{\sqrt{30}}{5}$；
（2）点B₁到平面A₁BE₁的距离为h′，则$\frac{1}{3}•\frac{1}{2}•\frac{\sqrt{5}}{2}•\frac{\sqrt{30}}{5}h′=\frac{1}{3}•\frac{1}{2}•1•\frac{1}{2}•1$，
∴h′=$\frac{\sqrt{6}}{6}$；
（3）直线AE到平面A₁BE₁的距离等于A到平面A₁BE₁的距离h″，则$\frac{1}{3}•\frac{1}{2}•\frac{\sqrt{5}}{2}•\frac{\sqrt{30}}{5}h″$=$\frac{1}{3}•\frac{1}{2}•1•\frac{1}{2}•1$，
∴h″=$\frac{\sqrt{6}}{6}$；
（4）平面AEC₁与平面A₁BE₁的距离等于直线AE到平面A₁BE₁的距离，为$\frac{\sqrt{6}}{6}$；
（5）A₁在正方体表面上到点E的最短距离为$\sqrt{1+（1+\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{13}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{30}}{5}$；$\frac{\sqrt{6}}{6}$；$\frac{\sqrt{6}}{6}$；$\frac{\sqrt{6}}{6}$；$\frac{\sqrt{13}}{2}$．

点评 本题考查空间距离的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．