Question

如图，设矩形ABCD（AB＞AD）的周长为24，把它关于AC折起来，AB折过去后，交DC于P，设AB=x．
（1）请用x来表示DP；
（2）请用x来表示△ADP的面积；
（3）请根据△ADP的面积表达式求此面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）由AB=x可得AD=12-x，由DP=PB'可得AP=AB'-PB'=AB-DP=x-DP，
（2）利用勾股定理得 （12-x）²+DP²=（x-DP）²可求DP=12-

72

x

，从而可得△ADP的面积S=

1

2

AD•DP=

1

2

(12-x)•(12-

72

x

)=108-(6x+

432

x

)，
（3）利用基本不等式可得6x+

432

x

≥2

6x• 432 x

=72

2

，从而可得S=108-(6x+

432

x

)≤108-72

2

．

解答：解：（1）∵AB=x，∴AD=12-x，
又DP=PB'，AP=AB'-PB'=AB-DP=x-DP，
由勾股定理得  （12-x）²+DP²=（x-DP）²，得DP=12-

72

x

，
（2）结合（1）可得，△ADP的面积S=

1

2

AD•DP=

1

2

(12-x)•(12-

72

x

)
=108-(6x+

432

x

)，
（3）∵x＞0，∴6x+

432

x

≥2

6x• 432 x

=72

2

，
∴S=108-(6x+

432

x

)≤108-72

2

．
当且仅当6x=

432

x

时，即当x=6

2

时，S有最大值108-72

2

．

点评：利用三角形知识解决实际问题，主要构造三角形或其它几何图形，借助于三角形的知识进行求解，而基本不等式的应用是求解函数最值的常用方法．