Question

6．已知x、y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x-2y+7≥0}\\{4x-3y-12≤0}\\{x+2y-3≥0}\end{array}\right.$，则Z=x²+y²+2x+1的最小值是（　　）

• A． $\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$
• B． $\frac{16}{5}$
• C． 2$\sqrt{41}$
• D． 164

Answer 1

分析 先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=x²+y²表示点（-1，0）到可行域的点的距离的平方，故只需求出点（-1，0）到可行域的距离的最小值即可．

解答 解：如图，作出约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x-2y+7≥0}\\{4x-3y-12≤0}\\{x+2y-3≥0}\end{array}\right.$可行域，Z=x²+y²+2x+1=Z=（x+1）²+y²是点（x，y）到（-1，0）的距离的平方，
故最小值为原点到直线x+2y-3=0的距离的平方，
即为$（\frac{|-1-3|}{\sqrt{1+{2}^{2}}}）^{2}$=$\frac{16}{5}$，
故选：B．

点评 本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于中档题．