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    设f（x）=ln（x+1）+ax，（a∈R且a≠0）．
    （Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
    （Ⅱ）若a=1，证明：x∈（0，5）时，f(x)＜
    9xx+1
    成立．
    分析：（Ⅰ）确定函数的定义域，求导函数，分类讨论，利用导数的正负，即可求得函数的单调区间；
    （Ⅱ）a=1，f（x）=ln（x+1）+x，f(x)＜
    9x
    x+1
    等价于ln（x+1）+
    x2-8x
    x+1
    ＜0，求出函数的最值，即可求得结论．
    解答：（Ⅰ）解：函数的定义域为（-1，+∞）
    求导函数可得f′（x）=
    1
    x+1
    +a
    当a≥0时，
    1
    x+1
    +a＞0    ，函数单调递增，单调增区间为（-1，+∞）；
    当a＜0时，
    1
    x+1
    +a＞0    ，函数在（-1，-1-
    1
    a
    ）内单调递增，单调增区间为（-1，-1-
    1
    a
    ）
    1
    x+1
    +a＜0    ，函数在（-1-
    1
    a
    ，+∞）内单调递减，单调减区间为（-1-
    1
    a
    ，+∞）；
    （Ⅱ）证明：若a=1，f（x）=ln（x+1）+x，f(x)＜
    9x
    x+1
    等价于ln（x+1）+
    x2-8x
    x+1
    ＜0
    令g（x）=ln（x+1）+
    x2-8x
    x+1
    ，则g′（x）=
    x2+3x-7
    (x+1)2

    ∵x∈（0，5），∴函数在（0，
    -3+
    		37
    2
    ）上单调递增，在（
    -3+
    		37
    2
    ，5）上单调递减
    ∴g（x）max=ln（
    -3+
    		37
    2
    +1）+
    (
    -3+
    		37
    2
    )    2    -8•
    -3+
    		37
    2
    -3+
    		37
    2
    +1
    ＜0
    ∴x∈（0，5）时，f(x)＜
    9x
    x+1
    成立．
    点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查不等式的证明，考查函数的最值，属于中档题．
    练习册系列答案
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f（x）=lnx-
    1
    2
    ax2+bx（a＞0），且f′（1）=0
    （1）试用含有a的式子表示b，并求f（x）的单调区间；
    （2）设函数f（x）的最大值为g（a），试证明不等式：g（a）＞ln（1+
    a
    2
    ）-1
    （3）首先阅读材料：对于函数图象上的任意两点A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2），如果在函数图象上存在点M（x0，y0）（x0∈（x1，x2）），使得f（x）在点M处的切线l∥AB，则称AB存在“相依切线”特别地，当x0=
    x1+x2
    2
    时，则称AB存在“中值相依切线”．请问在函数f（x）的图象上是否存在两点A（x1，y1），B（x2，y2），使得AB存在“中值相依切线”？若存在，求出一组A、B的坐标；若不存在，说明理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2012•辽宁）设f（x）=ln（x+1）+
    		x+1
    +ax+b（a，b∈R，a，b为常数），曲线y=f（x）与直线y=
    3
    2
    x在（0，0）点相切．
    （I）求a，b的值；
    （II）证明：当0＜x＜2时，f（x）＜
    9x
    x+6
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f（x）满足f（x）+f'（0）-e-x=-1，函数g（x）=-λlnf（x）+sinx是区间[-1，1]上的减函数．
    （1）当x≥0时，曲线y=f（x）在点M（t，f（t））的切线与x轴、y轴围成的三角形面积为S（t），求S（t）的最大值；
    （2）若g（x）＜t2+λt+1在x∈[-1，1]时恒成立，求t的取值范围；
    （3）设函数h（x）=-lnf（x）-ln（x+m），常数m∈Z，且m＞1，试判定函数h（x）在区间[e-m-m，e2m-m]内的零点个数，并作出证明．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2012•洛阳模拟）设f（x）=ln（|x-1|+m|x-2|-3）（m∈R）
    （Ⅰ）当m=1时，求函数f（x）的定义域；
    （Ⅱ）若当1≤x≤
    74
    ，f（x）≥0恒成立，求实数m的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设f（x）=ln（x+1），（x＞-1）
    （1）讨论函数g(x)=af(x)-
    1
    2
    x2    （a≥0）的单调性．
    （2）求证：(1+
    1
    1
    )(1+
    1
    2
    )(1+
    1
    3
    )…(1+
    1
    n
    )＜e
    n+2
    2
    （n∈N*）

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