Question

6．求解下列问题：
（1）已知设f（α）=$\frac{2sin（π+α）cos（π-α）-cos（π+α）}{1+si{n}^{2}α+cos（\frac{3π}{2}+α）-si{n}^{2}（\frac{π}{2}+α）}$（1+2sinα≠0），求f（-$\frac{23π}{6}$）
（2）证明：$\frac{1-2sinxcosv}{co{s}^{2}x-si{n}^{2}x}$=$\frac{1-tanx}{1+tanx}$．

Answer 1

分析 （1）首先利用三角函数的诱导公式化简f（α），然后计算；
（2）利用三角函数的基本关系、倍角公式进行证明．

解答 解：（1）f（α）=$\frac{2sin（π+α）cos（π-α）-cos（π+α）}{1+si{n}^{2}α+cos（\frac{3π}{2}+α）-si{n}^{2}（\frac{π}{2}+α）}$=$\frac{2sinαcosα+cosα}{1+si{n}^{2}α+sinα-co{s}^{2}α}$=$\frac{sin2α+cosα}{sinα（2sinα+1）}$，（1+2sinα≠0），
所以f（-$\frac{23π}{6}$）=$\frac{sin（-\frac{23π}{3}）+cos（-\frac{23π}{6}）}{sin（-\frac{23π}{6}）（1+2sin（-\frac{23π}{6}））}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}（1+\sqrt{3}）}$=$\sqrt{3}$-1；
（2）$\frac{1-2sinxcosv}{co{s}^{2}x-si{n}^{2}x}$=$\frac{（sinx-cosx）^{2}}{（cosx+sinx）（cosx-sinx）}$=$\frac{sinx-cosx}{sinx+cosx}$=$\frac{1-tanx}{1+tanx}$=右边．

点评 本题考查了三角函数的诱导公式的运用化简三角函数式以及利用基本关系式证明三角函数式；注意三角函数的符号和名称的变化．