精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
10.已知幂函数f(x)=x${\;}^{-{m}^{2}+2m+3}$(m∈Z)为偶函数,且在区间(0,+∞)上是单调增函数.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)设函数g(x)=$\sqrt{f(x)}$+2x+c,若g(x)>2对任意的x∈R恒成立,求实数c的取值范围.

分析 (1)利用幂函数的奇偶性与单调性即可得出.
(2)由(1)知f(x)=x4,则g(x)=x2+2x+c=(x+1)2+(c-1).由g(x)>2对任意的x∈R恒成立,可得:g(x)min>2,且x∈R,解出即可得出.

解答 解:(1)∵f(x)在区间(0,+∞)上是单调增函数,
∴-m2+2m+3>0,即m2-2m-3<0,解得-1<m<3.
又m∈Z,∴m=0,1,2,
而m=0,2时,f(x)=x3不是偶函数,m=1时,f(x)=x4是偶函数.
∴f(x)=x4
(2)由(1)知f(x)=x4,则g(x)=x2+2x+c=(x+1)2+(c-1).
∵g(x)>2对任意的x∈R恒成立,
∴g(x)min>2,且x∈R,则c-1>2,解得c>3.
故实数c的取值范围是(3,+∞).

点评 本题考查了幂函数的奇偶性与单调性、二次函数的单调性、不等式的解法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:填空题

20.已知某几何体的三视图如图所示,其中俯视图中的曲线是一段半圆弧,则这个几何体的表面积是12+π.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

1.若函数f(x)满足f(3x+2)=9x+8,则f(x)的解析式是(  )
A.f(x)=9x+8B.f(x)=3x+2
C.f(x)=-3x-4D.f(x)=3x+2或f(x)=-3x-4

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

18.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c(a≥b),$sin({\frac{π}{3}-A})=sinB$,$asinC=\sqrt{3}sinA$,则a+b的最大值为(  )
A.2B.3C.$2\sqrt{3}$D.4

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:选择题

5.某工厂第三年的产量比第一年的产量增加20%,若每年的平均增长率相同(设为x),则以下结论正确的是(  )
A.x=10%B.x<10%
C.x>10%D.x的大小由第一年的产量决定

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:填空题

15.已知函数f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{2a-x-\frac{4}{x}-3,x∈(-∞,a)}\\{x-\frac{4}{x}-3,x∈[a,+∞)}\end{array}\right.$有且只有3个不同的零点x1,x2,x3(x1<x2<x3),且2x2=x1+x3,则a=-$\frac{11}{6}$.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:填空题

2.已知集合A中只含有1,a2两个元素,则实数a不能取的值为±1.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:解答题

8.如图所示,AC=BC=1,∠ACB-90°,PA⊥平面ABC,CE∥PA,PA=2CE=2,
(1)求证:平面EPB⊥平面APB
(2)求二面角A-BE-P的正弦.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:填空题

9.如图,平面四边形ABCD中,AB=$\sqrt{5}$,AD=2$\sqrt{2}$,CD=$\sqrt{3}$,∠CBD=30°,∠BCD=120°,则△ADC的面积S为$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$.

查看答案和解析>>

同步练习册答案