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【题目】已知函数.

1)当时,讨论极值点的个数;

2)若ab分别为的最大零点和最小零点,当时,证明:.

【答案】1)两个(2)证明见解析

【解析】

1)求出导函数,由确定单调性后再得极值点个数.

2)先证明时,函数没有两个零点,从而,设,且是两个极值点,得,计算,证明,可缩小范围,得,从而证得命题成立.

1

单调递减,

单调递增,

时,,使得

单调递增,

单调递减,

有两个极值点.

综上:时,有两个极值点:

2)证明:由(1)可知:当时,

恒成立,且的解为有限个,

所以R上单调递增,又因为

所以有且只有一个零点,

所以:若函数有不止一个零点,则

时,由(1)可知:

单调递增,

单调递减,

因为,所以

,当时,

上单调递增,又因为为连续函数,

上单调递增,又因为为连续函数,

所以:,即

又因为,所以

所以.

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