【题目】已知函数.
(1)当时,讨论极值点的个数;
(2)若a,b分别为的最大零点和最小零点,当时,证明:.
【答案】(1)两个(2)证明见解析
【解析】
(1)求出导函数,由,确定单调性后再得极值点个数.
(2)先证明时,函数没有两个零点,从而,设,且是两个极值点,得,,计算,证明,可缩小范围,,得,从而证得命题成立.
(1)
则,,
,单调递减,
,单调递增,
,
当时,,,使得,
,时单调递增,
时单调递减,
有两个极值点.
综上:时,有两个极值点:
(2)证明:由(1)可知:当时,
恒成立,且的解为有限个,
所以在R上单调递增,又因为
所以有且只有一个零点,
所以:若函数有不止一个零点,则
当时,由(1)可知:,,
,时单调递增,
时单调递减,
因为,所以,
且,,当时,
令
在上单调递增,又因为为连续函数,
,
在上单调递增,又因为为连续函数,
所以:,即,
又因为,所以,,
,
所以.
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【题目】已知数列{an}满足:,且an+1(n=1,2…)集合M={an|}中的最小元素记为m.
(1)若a1=20,写出m和a10的值:
(2)若m为偶数,证明:集合M的所有元素都是偶数;
(3)证明:当且仅当时,集合M是有限集.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,点,直线,设圆的半径为1,圆心在上.
(1)若圆心也在直线上,过点作圆的切线,求切线的方程;
(2)若圆上存在点,使,求圆心的横坐标的取值范围.
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【题目】如图,椭圆C:的右焦点为F,过点F的直线l与椭圆交于A、B两点,直线n:x=4与x轴相交于点E,点M在直线n上,且满足BM∥x轴.
(1)当直线l与x轴垂直时,求直线AM的方程;
(2)证明:直线AM经过线段EF的中点.
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【题目】已知椭:()过点,且椭圆的离心率为.过椭圆左焦点且斜率为1的直线与椭圆交于,两点.
(1)求椭圆的方程;
(2)求线段的垂直平分线的方程;
(3)求三角形的面积.(为坐标原点)
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【题目】已知椭圆:过点和点.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设直线与椭圆相交于不同的两点, ,是否存在实数,使得?若存在,求出实数;若不存在,请说明理由.
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【题目】在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为为参数),在以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴的极坐标系中,点的极坐标为,直线的极坐标方程为.
(1)求直线的直角坐标方程与曲线的普通方程;
(2)若是曲线上的动点,为线段的中点,求点到直线的距离的最大值.
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