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    如图，设三棱锥S-ABC的三个侧棱与底面ABC所成的角都是60°，又∠BAC=60°，且SA⊥BC．
    （1）求证：S-ABC为正三棱锥；
    （2）已知SA=a，求S-ABC的全面积．

    （1）证明：正棱锥的定义中，底面是正多边形；
    顶点在底面上的射影是底面的中心，两个条件缺一不可．
    作三棱锥S-ABC的高SO，O为垂足，连接AO并延长交BC于D．
    因为SA⊥BC，所以AD⊥BC．又侧棱与底面所成的角都相等，
    从而O为△ABC的外心，OD为BC的垂直平分线，所以AB=AC．又∠BAC=60°，
    故△ABC为正三角形，且O为其中心．所以S-ABC为正三棱锥．

    （2）解：在Rt△SAO中，由于SA=a，∠SAO=60°，
    所以SO=a，AO=a．因O为重心，所以AD=AO=a，
    BC=2BD=2ADcot60°=a，OD=AD=a．
    在Rt△SOD中，SD2=SO2+OD2=（a）2+（a）2=，则SD=a．
    于是，（SS-ABC）全=•（a）2sin60°+3••a•a=a2．
    分析：（1）利用已知条件，证明底面三角形是正三角形，证明顶点S在底面的射影是底面的中心，就证明S-ABC为正三棱锥；
    （2）SA=a，只要求出正三棱锥S-ABC的侧高SD与底面边长，即可求S-ABC的全面积．
    点评：本题考查棱锥的结构特征，棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积，考查计算能力，逻辑思维能力，是中档题．
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    （1）求证：S-ABC为正三棱锥；
    （2）已知SA=a，求S-ABC的全面积．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    精英家教网如图，在三棱锥S-ABC中，侧面SAB⊥底面ABC，且∠ASB=∠ABC=90°，AS=SB=2，AC=2
    		3
    ．

    （Ⅰ）求证SA⊥SC；
    （Ⅱ）在平面几何中，推导三角形内切圆的半径公式r=
    2S
    l
    （其中l是三角形的周长，S是三角形的面积），常用如下方法（如右图）：
    ①以内切圆的圆心O为顶点，将三角形ABC分割成三个小三角形：△OAB，△OAC，△OB精英家教网C．
    ②设△ABC三边长分别为a，b，c．由S△ABC=S△OBC+S△OAC+S△OAB，
    得S=
    1
    2
    ar+
    1
    2
    br+
    1
    2
    cr    =
    1
    2
    lr    ，则r=
    2S
    l
    ．
    类比上述方法，请给出四面体内切球半径的计算公式（不要求说明类比过程），并利用该公式求出三棱锥S-ABC内切球的半径．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2010•上饶二模）如图，设三棱锥O-ABC的三条侧棱OA，OB，OC两两垂直，三个侧面与底面所成的二面角O-AB-C，O-BC-A，O-CA-B分别等于α1，α2，α3．记△OAB，△OBC，△OCA，△ABC的面积分别为S1，S2，S3，S，则下列四个命题：（1）Si=Scosαi（i=1，2，3）（2）若∠BAO=∠CAO=45°，则∠BAC=60°（3）S2=S12+S22+S32．（4）α1，α2，α3的取值可以分别是30°，45°，60°．
    其中正确命题的序号是
    （1）（2）（3）
    （1）（2）（3）
    （填上所有正确命题的序号）

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    科目：高中数学 来源：2006年高考第一轮复习数学：9.10 棱柱与棱锥（解析版） 题型：解答题

    如图，设三棱锥S-ABC的三个侧棱与底面ABC所成的角都是60°，又∠BAC=60°，且SA⊥BC．
    （1）求证：S-ABC为正三棱锥；
    （2）已知SA=a，求S-ABC的全面积．

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