Question

【题目】已知函数，其中.

（1）令，判断函数的奇偶性，并说明理由；

（2）令，的最大值为A，函数在区间上单调递增函数，求的取值范围；

（3）令，将函数的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图像，对任意，求在区间上零点个数的所有可能值.

Answer 1

【答案】（1）非奇非偶函数，理由见解析；（2）；（3）见解析

【解析】

（1）特值法：ω＝1时，写出f（x）、F（x），求出F（）、F（），结合函数奇偶性的定义可作出正确判断；

（2）当时，利用诱导公式、两角和的正弦公式展开及辅助角公式求得h（x），进而求得h（x）的最大值A，由题意可知：对称轴，解得，即可求得θ的取值范围．

（3）根据图象平移变换求出g（x），令g（x）＝0可得g（x）可能的零点，而[a，a+10π]恰含10个周期，分a是零点，a不是零点两种情况讨论，结合图象可得g（x）在[a，a+10π]上零点个数的所有可能值；

（1）当时，f（x）＝2sinx，

∴F（x）＝f（x）+f（x）＝2sinx+2sin（x）＝2（sinx+cosx），

F（）＝2，F（）＝0，F（）≠F（），F（）≠﹣F（），

所以，F（x）既不是奇函数，也不是偶函数．

（2）当时，

∵∴

由题意，在区间上单调递减

∴抛物线对称轴，即

∴

（3）f（x）＝2sin2x，

将y＝f（x）的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位后得到y＝2sin2（x）+1的图象，所以g（x）＝2sin2（x）+1．

令g（x）＝0，得x＝kπ或x＝kπ（k∈z），

因为[a，a+10π]恰含10个周期，所以，当a是零点时，在[a，a+10π]上零点个数21，

当a不是零点时，a+kπ（k∈z）也都不是零点，区间[a+kπ，a+（k+1）π]上恰有两个零点，故在[a，a+10π]上有20个零点．

综上，y＝g（x）在[a，a+10π]上零点个数的所有可能值为21或20．