Question

在△ABC中，角A、B、C对边分别为a、b、c，sinA+sinB=2sinC，a=2b．
（1）证明：△ABC为钝角三角形；
（2）若S_△ABC=

4

3

15

，求c．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：解三角形

分析：（1）结合正弦定理和余弦定理即可证明：△ABC为钝角三角形；
（2）根据三角形的面积公式即可求c．

解答： 解：（1）∵sinA+sinB=2sinC，
∴由正弦定理得a+b=2c，
∵a=2b，
∴3b=2c，即c=

3

2

b，
则a最大，
则cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

b2+ 9b2 4 -4b2

2b• 3 2 b

=-

1

4

＜0，
则A为钝角，
故△ABC为钝角三角形；
（2）∵cosA=-

1

4

，∴sinA=

15

4

，
∵S_△ABC=

4

3

15

=

1

2

bcsinA，
即

4

3

15

=

1

2

×

3b2

2

×

15

4

，
b 2=

64

9

，
解得b=

8

3

，
则c=

3

2

b=

3

2

×

8

3

=4．

点评：本题主要考查解三角形的应用，要求熟练掌握正弦定理和余弦定理的应用．