Question

已知椭圆C：

x2

8

+

y2

4

=1的左焦点为F₁，直线l：y=x-2与椭圆C交于A、B两点．
（1）求线段AB的长；
（2）求△ABF₁的面积．

Answer 1

分析：（1）把直线方程代入椭圆方程，求得交点坐标，可求线段AB的长；
（2）法一：求出点F₁（-2，0）到直线y=x-2的距离，可求△ABF₁的面积；法二：直线y=x-2通过椭圆的右焦点，利用S△ABF1=

1

2

|F1F2|(|y1|+|y2|)，可得结论．

解答：解：（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
因为

x2

8

+

y2

4

=1和y=x-2相交，把两个方程联立，得

x2+2y2-8=0 y=x-2

代入得到x²+2（x-2）²-8=0，即3x²-8x=0，解得x1=0，x2=

8

3

所以y1=-2，y2=

2

3

，
所以|AB|=

(0- 8 3 )2+(-2- 2 3 )2

=

8

3

2

（2）法一：因为点F₁（-2，0）到直线y=x-2的距离为d=

|-2-2|

1+1

=2

2

所以S△ABF1=

1

2

|AB|•d=

1

2

•

8 2

3

•2

2

=

16

3

法二：直线y=x-2通过椭圆的右焦点F₂（2，0），
则△ABF₂的面积为S△ABF1=

1

2

|F1F2|(|y1|+|y2|)=

1

2

×4×(2+

2

3

)=

16

3

点评：本题考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，考查学生的计算能力，属于中档题．