Question

（2013•江门一模）（1）证明：对?x＞0，lnx≤x-1；
（2）数列{a_n}，若存在常数M＞0，?n∈N^*，都有a_n＜M，则称数列{a_n}有上界．已知bn=1+

1

2

+…+

1

n

，试判断数列{b_n}是否有上界．

Answer 1

分析：（1）先设g（x）=lnx-（x-1）=lnx-x+1，利用导数研究它的单调性，得出g（x）在x=1处取最大值，即可证得结论；
（2）假设x-1=

1

n

，从而得出x=1+

1

n

，由（1）得ln(1+

1

n

)≤

1

n

，即

1

n

≥ln

n+1

n

，再利用?M＞0，取n为任意一个不小于e^M的自然数，则bn=ln(n+1)＞lneM=M，从而得出数列{b_n}无上界．

解答：证：（1）设g（x）=lnx-（x-1）=lnx-x+1，?x＞0.g/(x)=

1

x

-1…（1分），
解g′（x）=0得x=1…（2分）．
当0＜x＜1时，g/(x)=

1

x

-1＞0，g（x）单调递增…（3分）；
当x＞1时，g/(x)=

1

x

-1＜0，g（x）单调递减…（4分），
所以g（x）在x=1处取最大值，即?x＞0，g（x）≤g（1）=ln1-1+1=0，lnx≤x-1…（6分）
（2）数列{b_n}无上界…（7分）?n∈N^*，设x-1=

1

n

…（8分），x=1+

1

n

，
由（1）得ln(1+

1

n

)≤

1

n

，

1

n

≥ln

n+1

n

…（10分），
所以bn=1+

1

2

+…+

1

n

≥ln

2

1

+ln

3

2

+…+ln

n+1

n

=ln（n+1）…（13分），
?M＞0，取n为任意一个不小于e^M的自然数，
则bn=ln(n+1)＞lneM=M，数列{b_n}无上界…（14分）．

点评：本题主要考查全称命题、数列的通项公式在求解中的应用，及利用导数研究函数的单调性，属于中档题．