Question

【题目】已知数列满足：

(1) 证明：数列是等比数列；

(2) 求使不等式成立的所有正整数m、n的值；

(3) 如果常数0 < t < 3，对于任意的正整数k，都有成立，求t的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）或或；（3）(0,1)∪(2, ).

【解析】试题分析：（1）由递推关系，构造等比数列；（2）化简不等式得，依次验证m取1,2,3,4，即可得出；（3）分离参数，转化为求(2ak–ak+1)min即可.

试题解析：

(1) 由an+1=an+2，所以an+1–4 =( an–4 )，

且a1–4=–2，故数列{an–4}是以–2为首项，为公比的等比数列；

(2) 由(1)题，得an–4=–2，得，

于是，当m≥4时，，无解，

因此，满足题意的解为或或；

(3) 解：① 当k=1时，由，解得0<t<1或2<t<3，

② 当k≥2时，，故分母恒成立，

从而，只需ak+1–t<2(ak–t)对k≥2，k∈N*恒成立，即t<2ak–ak+1对k≥2，k∈N*恒成立，故t<(2ak–ak+1)min，

又，故当时，，所以，

综上所述，的取值范围是(0,1)∪(2,)．