Question

（本题满分16分 ）

在平面直角坐标系中，椭圆C： (a＞b＞0)，圆O：x²+y²=a²，且过点A（，0）所作圆的两条切线互相垂直．

（Ⅰ）求椭圆离心率；

（Ⅱ）若直线y=2与圆交于D、E；与椭圆交于M、N，且DE=2MN，求椭圆的方程；

（Ⅲ）设点T（0，3）在椭圆内部，若椭圆C上的点到点P的最远距离不大于5，求椭圆C的短轴长的取值范围．

 

Answer 1

（Ⅰ）由条件：过点A（，0）作圆的两切线互相垂直，

     ∴OA=a，即：=a，∴e=．           …………………………………………………3分

（Ⅱ）∵e=，∴a²=2c²，a²=2b²，∴椭圆C：+=1．   …………………………………………5分

得x²=a²－12，∴DE=2,

      得x²=2b²－24，∴MN=,         …………………………………7分

    由DE=2MN，得：=4（2b²－24），∴2b²－12=4（2b²－24）解得：b²=14，a²=28，

∴椭圆方程为：．                …………………………………………………9分

（Ⅲ）∵点T（0，3）在椭圆内部，∴b＞3，

      设P（x，y）为椭圆上任一点，则

       PT²=x²+(y－3)²=2b²－2y²+(y－3)²=－(y+3)²+2b²+18，其中，－b＜y＜b， …………………12分

∵b＞3，∴－b＜－3，

∴当y=－3时，PT²的最大值2b²+18．         ……………………………………………………14分

依题意：PT≤5，∴PT²≤50，

∴2b²+18≤50，∴0＜b≤4，

又∵b＞3，∴3＜b≤4，即6＜2b≤8，

∴椭圆C的短轴长的取值范围6＜b≤8．          …………………………………………………16分