Question

1．已知圆x²+y²=r²，点P（x₀，y₀）是圆上一点，自点P向圆作切线，P是切点，求切线的方程．

Answer 1

分析 分两种情况考虑：当切线方程的斜率不存在时，显然切线方程为x=x₀；当切线方程的斜率存在时，要求过P的切线方程，就要求直线的斜率，先根据O和P的坐标求出直线OP的斜率，根据直线与圆相切时切线垂直与经过切点的半径得到直线OP与切线垂直，即可求出切线的斜率，得到切线方程．

解答 解：当切线方程的斜率不存在时，切线方程为：x=x₀；
当切线方程的斜率存在时，
由x²+y²=r²，可知圆心为原点（0，0），所以直线OP的斜率k=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$，
根据所求切线与直线OP垂直得到切线的斜率k′=-$\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}}$，
则切线方程为y-y₀=-$\frac{{x}_{0}}{{y}_{0}}$（x-x₀）；
即x₀x+y₀y-x₀²-y₀²=0，
综上，所求切线方程为x₀x+y₀y=r²．

点评 考查学生灵活运用圆切线的性质定理，掌握两直线垂直时所满足的条件，会根据一点坐标与斜率写出直线的方程．