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设函数f(x)=a-
2
2x+1

(1)确定a的值,使f(x)为奇函数;
(2)求证:不论a为何实数f(x)总为增函数.
考点:函数奇偶性的判断,函数单调性的判断与证明
专题:证明题,函数的性质及应用
分析:(1)f(x)为奇函数可得f(-x)=-f(x),由此等式恒成立即可得出a的值;
(2)由于f(x)的定义域为R,令x1<x2,再由定义法证明即可得出结论.
解答: 解:(1)由于f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x),即a-
2
2-x+1
=-a+
2
2x+1

解得:a=1,f(x)=1-
2
2x+1

(2)由于f(x)的定义域为R,令x1<x2
f(x1)-f(x2)=a-
2
2x1+1
-a+
2
2x2+1
=
2(2x1-2x2)
(2x2+1)(2x1+1)

∵x1<x2,∴2x1-2x2<0(2x2+1)(2x1+1)>0,∴f(x1)-f(x2)<0
即f(x1)<f(x2),所以不论a为何实数f(x)总为增函数.
点评:本题考查函数奇偶性的判断以及函数单调性的判断,属于函数性质考查的经典题,应好好体会掌握.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知复数z=(a+i)2,ω=4-3i其中a是实数,
(1)若在复平面内表示复数z的点位于第一象限,求a的范围;
(2)若
z
ω
是纯虚数,a是正实数,①求a,②求
z
ω
+(
z
ω
2+(
z
ω
3+…+(
z
ω
8

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=3x+
1
3x

(1)判断函数f(x)的奇偶性;
(2)利用函数单调性的定义证明f(x)在(0,+∞)上是增函数.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知二次函数f(x)=Ax2+Bx(A≠0),f(1)=3,其图象关于x=-1对称,数列{an}的前n项和为Sn,点(n,Sn)(n∈N*均在y=f(x)图象上.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式,并求Sn的最小值;
(Ⅱ)数列{bn},bn=
1
Sn
,{bn}的前n项和为 Tn,求证:
1
3
-
1
4n
<Tn
3
4
-
1
n+3

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知全集U为实数集,设集合A={x|x2-4≤0},B={x|x≤0},A∩∁UB=(  )
A、[0,2]
B、(0,2]
C、(-∞,2]
D、[-2,0]

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科目:高中数学 来源: 题型:

如图E,F是正方形ABCD的边CD、DA的中点,今将△DEF沿EF翻折,使点D转移至点P处,且平面PEF⊥平面ABCEF
(1)若平面PAF∩平面PBC=l,求证:l∥BC;
(2)求直线BC与平面PAB所成的角的正弦值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

将直线y=
1
3
x绕原点顺时针旋转90°,再向左平移1个单位,所得到的直线的方程为(  )
A、y=-3x-3
B、y=-3x+3
C、y=-3x-1
D、y=3x-3

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科目:高中数学 来源: 题型:

椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0),直线L的倾斜角为60°,直线L过C的右焦点F2,且与C相交于A,B两点(A,B可互换),若
AF2
F2B
,则λ的取值范围是
 

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科目:高中数学 来源: 题型:

若函数f(x)=2cos2x+
3
sin2x+a(a∈R)在区间[0,
π
2
]
上有最小值5,
(Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)求函数f(x)的对称轴方程及在[0,π]上的单调增区间.

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