Question

已知命题P：“函数f（x）=a²x²+ax-2在[-1，1]上存在零点”；命题Q：“只有一个实数x满足不等式x²+2ax+2a≤0”，若命题P或Q是假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：“函数f（x）=a²x²+ax-2在[-1，1]上存在零点”即方程有根；只有一个实数x满足不等式x²+2ax+2a≤0即相应方程只有一解

解答：解：∵函数f（x）=a²x²+ax-2在[-1，1]上存在零点
∴方程f（x）=a²x²+ax-2=（ax+2）（ax-1）=0有解．在[-1，1]上存在零点，
当a=0时，f（x）=a²x²+ax-2，则不符合条件；
当a≠0时，∵函数f（x）=a²x²+ax-2在[-1，1]上有零点，且a²＞0，
△=9a²＞0，由f（1）＜0且f（-1）＜0，即a²+a-2＜0且a²-a-2＜0，
解得满足题意的a值为，a≤-1或a≥1，
只有一个实数x满足不等式x²+2ax+2a≤0，即抛物线y=x²+2ax+2与x轴只有一个交点
∴△=4a²-8a=0，∴a=0或a=2
∴命题P或Q是假命题
∴a的取值范围为{a|-1＜a＜0或0＜a＜1}

点评：本题通过逻辑用语来考查函数、方程与不等式之间的关系．