Question

7．网上有一项虚似的游戏，在如图所示的等腰直角三角形上有15个格点（横、纵相邻格点间的距离为1个单位），三角形边界上的每个格点记1分，三角形内部的每个格点记2分，若点击鼠标左键，屏幕上会随机等可能地显示点中的某一格点，点中某格点后，将与其距离为1个单位的格点的分数和作为其得分．
（1）某人点击鼠标左键，若第一次显示点中三角形内部的格点，第二次显示点中三角形边界上的格点，求恰好两次点中的格点间的距离为1个单位的概率；
（2）随即点击鼠标左键一次，其得分记为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望．

Answer 1

分析 （1）先求出基本事件总数，再求出恰好两次点中的格点间的距离为1个单位包含怕基本事件个数，由此能求出恰好两次点中的格点间的距离为1个单位的概率．
（2）由已知得ξ的可能取值为2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量ξ的分布列和Eξ．

解答 解：（1）∵某人点击鼠标左键，第一次显示点中三角形内部的格点，第二次显示点中三角形边界上的格点，
∴基本事件总数n=3×12=36，
恰好两次点中的格点间的距离为1个单位包含的基本事件个数m=2+3+3=8，
∴恰好两次点中的格点间的距离为1个单位的概率p=$\frac{8}{36}$=$\frac{2}{9}$．
（2）由已知得ξ的可能取值为2，3，4，
P（ξ=2）=$\frac{3}{15}$=$\frac{1}{5}$，
P（ξ=3）=$\frac{6}{15}$=$\frac{2}{5}$，
P（ξ=4）=$\frac{6}{15}$=$\frac{2}{5}$，
∴随机变量ξ的分布列为：

ξ	2	3	4
P	$\frac{1}{5}$	$\frac{2}{5}$	$\frac{2}{5}$

Eξ=$2×\frac{1}{5}+3×\frac{2}{5}+4×\frac{2}{5}$=$\frac{16}{5}$．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求地，是中档题，解题时要认真审题，在历年高考中都是必考题型之一．