Question

7．已知S_n为数列{a_n}的前n项和，S_n=na_n-3n（n-1）（n∈N^*），且a₂=11．
（1）证明：数列{a_n}是等差数列，并求其前n项和S_n；
（2）设数列{b_n}满足b_n=$\frac{{a}_{n}+11}{{2}^{n}}$，求数列{b_n}的前n项的和T_n．

Answer 1

分析 （1）由已知求出a₁=5，（n-1）a_n-（n-1）a_n-1=6（n-1），由此能证明数列{a_n}是首项a₁=5，公差为6的等差数列，从而能求出求其前n项和S_n．
（2）由数列{b_n}满足b_n=$\frac{{a}_{n}+11}{{2}^{n}}$=$\frac{6n+10}{{2}^{n}}$，利用裂项求和法能求出数列{b_n}的前n项的和．

解答 （1）证明：∵S_n为数列{a_n}的前n项和，S_n=na_n-3n（n-1）（n∈N^*），且a₂=11．
∴S₂=a₁+a₂=2a₂-3×2（2-1），
解得a₁=5，
当n≥2时，S_n-1=（n-1）a_n-1-3（n-1）（n-2），
由a_n=S_n-S_n-1，
得a_n=na_n-3n（n-1）-（n-1）a_n-1-3（n-1）（n-2），
∴（n-1）a_n-（n-1）a_n-1=6（n-1），
∴a_n-a_n-1=6，n≥2，n∈N^*，
∴数列{a_n}是首项a₁=5，公差为6的等差数列，
∴a_n=a₁+6（n-1）=6n-1，
∴${S}_{n}=\frac{n（{a}_{1}+{a}_{n}）}{2}$=3n²+2n．
（2）解：∵数列{b_n}满足b_n=$\frac{{a}_{n}+11}{{2}^{n}}$=$\frac{6n+10}{{2}^{n}}$，
∴数列{b_n}的前n项的和：
T_n=$16•\frac{1}{2}+22•\frac{1}{{2}^{2}}$+$28•\frac{1}{{2}^{3}}+…+\frac{6n+10}{{2}^{n}}$，①
$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$16•\frac{1}{{2}^{2}}+22•\frac{1}{{2}^{3}}$+$28•\frac{1}{{2}^{4}}+…+\frac{6n+10}{{2}^{n+1}}$，②
①-②，得：$\frac{1}{2}{T}_{n}$=8+6（$\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{3}}+…+\frac{1}{{2}^{n}}$）-$\frac{6n+10}{{2}^{n+1}}$
=8+6×$\frac{\frac{1}{4}（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{3n+5}{{2}^{n}}$
=11-$\frac{3n+11}{{2}^{n}}$，
∴T_n=22-$\frac{6n+22}{{2}^{n}}$．

点评 本题考查等差数列的证明，考查等差数列的通项公式和前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．