直线l与函数y=xa(a<0)的图象切于点(1,1),则直线l与坐标轴所围成三角形的面积S的取值范围为( )
A.(0,4]
B.(0,2]
C.[4,+∞)
D.[2,+∞)
【答案】
分析:确定直线l的方程,表示出三角形的面积,利用基本不等式,即可得出结论.
解答:解:求导函数,得到y'=ax
a-1,x=1时,y'=a,所以切线就是y-1=a(x-1),化简,得到y=ax+1-a.
令x=0,得到y=1-a,所以直线l与y轴交与A(0,1-a);
令y=0,解得x=
,所以直线l与x轴相交于B(
,0).
所以直线l与坐标轴围成的三角形面积S=
|1-a||
|,
因为a<0,所以1-a>0,
>0,因此S=
[(
)+2]≥2
当且仅当
,即a=-1时,取等号
∴S的取值范围是[2,+∞).
故选D.
点评:本题考查导数的几何意义,考查三角形面积的计算,考查基本不等式的运用,属于中档题.