Question

20．已知一个圆经过A（3，3），B（2，4）两点，且圆心C在直线$y=\frac{1}{2}x+2$上，
（1）求圆C的标准方程；
（2）若直线y=kx+2与圆C有两个不同的交点，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设圆心（2a，2+a），圆C半径为r，则圆方程为（x-2a）²+（y-2-a）²=r²．再把点A（3，3），B（2，4）代入，求得a、r的值，可得圆C方程．
（2）由条件直线y=kx+2与圆C有两个不同的交点，可得$\frac{|2k-3+2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$＜1，由此求得k的取值范围．

解答 解：（1）设圆心（2a，2+a），圆C半径为r，∴圆方程为（x-2a）²+（y-2-a）²=r²．
再把点A（3，3），B（2，4）代入可得（3-2a）²+（3-2-a）²=（2-2a）²+（4-2-a）²=r²，
∴a=1，r=1，
∴圆C方程为（x-2）²+（y-3）²=1．
（2）∵直线y=kx+2与圆C有两个不同的交点，
∴$\frac{|2k-3+2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$＜1，∴0＜k＜$\frac{4}{3}$．

点评 本题主要考查求圆的标准方程的方法，本题主要考查直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．