Question

下列命题：
①命题“事件A与B互斥”是“事件A与B对立”的必要不充分条件．
②“am²＜bm²”是“a＜b”的充分必要条件．
③“矩形的两条对角线相等”的否命题为假．
④在△ABC中，“∠B=60°”是∠A，∠B，∠C三个角成等差数列的充要条件．
⑤△ABC中，若sinA=cosB，则△ABC为直角三角形．
判断错误的有

②⑤

．

Answer 1

分析：命题①中事件A与事件B互斥，事件A与事件B不一定对立，但相互对立的两事件一定互斥；
命题②中，要考虑m是否为零，若m²≠0，不等式两边同乘以

1

m2

得，a＜b；若m²=0时，由a＜b不能得到am²＜bm²；
命题③中，原命题的否命题为：“若四边形不是矩形，则其对角线不相等．”等腰梯形不是矩形，但其对角线相等；
命题④利用三角形内角和定理及等差中项概念，根据∠B=60°推出∠A、∠B、∠C成等差数列，反之，由∠A、∠B、∠C成等差数列，能推出∠B=60°；
命题⑤把余弦转化为正弦，然后由sinA=sin（90°-B）得到A=90°-B或A+90°-B=180°．

解答：解：事件A与B互斥，事件A与B不一定对立；反之事件A与B对立，一定有事件A与B互斥．所以“事件A与B互斥”是“事件A与B对立”的必要不充分条件．所以命题①正确．
由am²＜bm²知m²＞0，不等式两边同乘以

1

m2

得，a＜b，反之，若a＜b，则取m²=0时不能得到am²＜bm²，故am²＜bm²是a＜b的充分不必要条件，故命题②不正确．
原命题：矩形的两条对角线相等．则其否命题为：若四边形不是矩形，则其对角线不相等．此否命题为假命题，如等腰梯形不是矩形，但其对角线相等，故命题③正确．
在△ABC中，若∠B=60°，因为∠A+∠B+∠C=180°，得∠A+∠C=180°-∠B=180°-60°=120°，所以2∠B=∠A+∠C，所以∠A，∠B，∠C三个角成等差数列．
若∠A，∠B，∠C三个角成等差数列，可设公差为d，则∠A=∠B-d，∠C=∠B+d，由∠A+∠B+∠C=180°，得∠B-d+∠B+∠b+d=180°，∴∠B=60°．
所以在△ABC中，“∠B=60°”是∠A，∠B，∠C三个角成等差数列的充要条件，故命题④正确．
在△ABC中，若sinA=cosB，则sinA=sin（90°-B），所以A=90°-B或A+90°-B=180°，所以A+B=90°或A-B=90°，则△ABC不一定为直角三角形，故命题⑤不正确．
故答案为②⑤．

点评：本题考查判断命题的真假，命题①②④着重考查判断充要条件的方法，判断充要条件最常用的方法是定义法，即“若p⇒q，则p是q的充分条件”；“若q⇒p，则p是q成立的必要条件”；“若p?q，则p是q的充要条件”．解答命题⑤的关键是不要漏掉两角的终边关于y轴对称的情况．