Question

在等腰直角△ABC中，∠C=90°，一条直角边BC所在的直线方程为2x+3y+5=0，点A坐标为（2，2），求直线AC、BC的方程．

Answer 1

分析：由垂直关系求得AC斜率，点斜式求AC所在的直线方程．设出直线AB的斜率为k，由AB和AC夹角等于45°，求出AB的斜率，点斜式求出AC、AB所在的直线方程．

解答：解：由题意知kBC=-

2

3

，∵AC⊥BC，∴kAC=

3

2

，
又A（2，2），
∴直线AC的方程为y-2=

3

2

(x-2)，即y=

3

2

x-1…（4分）
设直线AB的斜率为k，∵∠CAB=45°，∴|

k-kAC

1+k•kAC

|=tan45°=1，即|

k- 3 2

1+ 3 2 k

|=1，
解得k=-5或 k=

1

5

…（6分）
当k=-5时，直线AB：y-2=-5（x-2），即 y=-5x+12；
当k=

1

5

时，直线AB：y-2=-

1

5

（x-2），即 y=

1

5

x+

8

5

…（10分）
综上知：直线AC的方程为：y=

3

2

x-1；
直线AB的方程为：y=-5x+12或 y=

1

5

x+

8

5

…（12分）

点评：本题考查用点斜式求直线方程的方法，直线的方向向量及两个向量的夹角公式得应用，求直线AB的斜率是解题的难点和关键．