分析 (1)利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f(x)=sin2x-$\frac{1}{2}$,利用$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x≤\frac{π}{2}+2kπ,k∈Z$,$\frac{π}{2}+2kπ≤2x≤\frac{3π}{2}+2kπ,k∈Z$,可求f(x)的单调区间;
(2)由已知可求sinA,又A为锐角,可得A=$\frac{π}{3}$,利用正弦定理可得b=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinB,c=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinC,利用三角函数恒等变换的应用化简可得周长L=1+2sin(C+$\frac{π}{6}$),利用正弦函数的性质即可得解.
解答 解:(1)由题意知$f(x)=\frac{sin2x}{2}-\frac{{1+cos({2x+\frac{π}{2}})}}{2}$=$\frac{sin2x}{2}-\frac{1-sin2x}{2}=sin2x-\frac{1}{2}$,
由$-\frac{π}{2}+2kπ≤2x≤\frac{π}{2}+2kπ,k∈Z$,可得$-\frac{π}{4}+kπ≤x≤\frac{π}{4}+kπ,k∈Z$,
由$\frac{π}{2}+2kπ≤2x≤\frac{3π}{2}+2kπ,k∈Z$,可得$\frac{π}{4}+kπ≤x≤\frac{3π}{4}+kπ,k∈Z$,
所以函数f(x)的单调递增区间是:$[{-\frac{π}{4}+kπ,\frac{π}{4}+kπ}]({k∈Z})$;
单调递减区间是:$[{\frac{π}{4}+kπ,\frac{3π}{4}+kπ}]({k∈Z})$.
(2)因为:f($\frac{A}{2}}$)=sinA-$\frac{1}{2}$=$\frac{{\sqrt{3}-1}}{2}$,
所以:sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,又A为锐角,可得A=$\frac{π}{3}$,
由a=1,利用正弦定理可得:$\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=\frac{a}{sinA}=\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$,
所以:b=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinB,c=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinC,
∴△ABC周长L=a+b+c=1+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinB+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinC=1+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sin($\frac{2π}{3}$-C)+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinC=1+2sin(C+$\frac{π}{6}$),
故当sin(C+$\frac{π}{6}$)取最大值1时,△ABC周长取最大值为3.
点评 本题主要考察了正弦定理、余弦定理,三角函数恒等变换的应用,正弦函数的图象和性质的综合应用,属于基本知识的考查.
科目:高中数学 来源: 题型:填空题
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A. | -6 | B. | 6 | C. | 8 | D. | 不确定 |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\frac{1}{8}$ | B. | $\frac{1}{2}$ | C. | $\frac{3}{2}$ | D. | $\frac{1}{6}$ |
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
分组(分数段) | 频数(人数) | 频率 |
[50,60) | a | 0.04 |
[60,70) | 9 | 0.18 |
[70,80) | 20 | 0.40 |
[80,90) | 16 | 0.32 |
[90,100] | b | c |
合计 | 50 | 1.00 |
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