【题目】已知函数f(x)= (a>0).
(1)证明函数f(x)在(0,2]上是减函数,(2,+∞)上是增函数;
(2)若方程f(x)=0有且只有一个实数根,判断函数g(x)=f(x)﹣4的奇偶性;
(3)在(2)的条件下探求方程f(x)=m(m≥8)的根的个数.
【答案】
(1)证明:由题意:f(x)=x+ +a,
∴f′(x)= ,
∴0<x<2时,f′(x)<0,x>2时,f′(x)>0,
∴函数f(x)在(0,2]上是减函数,(2,+∞)上是增函数
(2)解:由题意知方程x2+ax+4=0有且只有一个实数根
∴△=a2﹣16=0,
又a>0,∴a=4.
此时f(x)=x+ +4,g(x)=x+
,
又g(x)的定义域为(﹣∞,0)∪(0,+∞)关于原点对称,
且g(﹣x)=﹣x﹣ =﹣g(x),
∴g(x)是奇函数
(3)解:由(2)知f(x)=m可化为x+ =m﹣4(m≥8)
又由(1)(2)知:
当m﹣4=4 即m=8时f(x)=m只有一解
当m﹣4>4即m>8时f(x)=m有两解
综上,当m=8时f(x)=m只有一解;当m>8时f(x)=m有两解
【解析】(1)利用导数的正负,即可证明;(2)求出g(x)=x+ ,又g(x)的定义域为(﹣∞,0)∪(0,+∞)关于原点对称,利用奇函数的定义进行判断;(3)由(2)知f(x)=m可化为x+
=m﹣4(m≥8),再分类讨论,即可得出结论.
【考点精析】解答此题的关键在于理解奇偶性与单调性的综合的相关知识,掌握奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性;偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】分别过椭圆E: =1(a>b>0)左、右焦点F1、F2的动直线l1、l2相交于P点,与椭圆E分别交于A、B与C、D不同四点,直线OA、OB、OC、OD的斜率分别为k1、k2、k3、k4 , 且满足k1+k2=k3+k4 , 已知当l1与x轴重合时,|AB|=2
,|CD|=
.
(1)求椭圆E的方程;
(2)是否存在定点M,N,使得|PM|+|PN|为定值?若存在,求出M、N点坐标,若不存在,说明理由.
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【题目】双曲线 =1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1 , F2渐近线分别为l1 , l2 , 位于第一象限的点P在l1上,若l2⊥PF1 , l2∥PF2 , 则双曲线的离心率是( )
A.
B.
C.2
D.
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【题目】设集合A={x|x2+ax﹣12=0},B={x|x2+bx+c=0},且A≠B,A∪B={﹣3,4},A∩B={﹣3},求实数b,c的值.
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【题目】已知空间三点A(0,2,3),B(﹣2,1,6),C(1,﹣1,5);求:
(1)求以向量 为一组邻边的平行四边形的面积S;
(2)若向量a分别与向量 垂直,且|a|=
,求向量a的坐标.
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