Question

1．如图，在平行四边形ABCD中，$∠BAD=\frac{π}{3}$，AB=2，AD=1，若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足$\frac{BM}{BC}=\frac{NC}{DC}=λ$，其中λ∈[0，1]，则$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{AN}$的取值范围是（　　）

• A． [0，3]
• B． [1，4]
• C． [2，5]
• D． [1，7]

Answer 1

分析 画出图形，建立直角坐标系，利用比例关系，求出M，N的坐标，然后通过二次函数求出数量积的范围．

解答 解：建立如图所示的直角坐标系，则B（2，0），A（0，0），D（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．
∵$\frac{BM}{BC}=\frac{NC}{DC}=λ$，λ∈[0，1]，
$\overrightarrow{AM}$=$\overrightarrow{AB}$+λ$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AB}$+λ$\overrightarrow{AD}$=M（2+$\frac{λ}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$λ），
即M（2+$\frac{λ}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$λ）；
$\overrightarrow{AN}$=$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DN}$=$\overrightarrow{AD}$+（$\overrightarrow{DC}$-λ$\overrightarrow{DC}$）=（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）+（1-λ）•（2，0）=（$\frac{5}{2}$-2λ，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
即 N（$\frac{5}{2}$-2λ，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．
所以$\overrightarrow{AM}$=（2+$\frac{λ}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$λ）•（$\frac{5}{2}$-2λ，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）=-λ²-2λ+5=-（λ+1）²+6．
因为λ∈[0，1]，二次函数的对称轴为：λ=-1，
故当λ∈[0，1]时，-λ²-2λ+5∈[2，5]．
故选：C．

点评 本题考查向量的综合应用，平面向量的坐标表示以及数量积的应用，二次函数的最值问题，考查计算能力，属于中档题．