Question

在△ABC中，∠A＞∠B＞∠C，且三边的长为连续的自然数，且a=2ccosC，求sinA：sinB：sinC的值．

Answer 1

考点：正弦定理,余弦定理

专题：解三角形

分析：利用大角对大边，根据三角大小关系判断出三边大小关系，再由三边的长为连线的自然数得到a=b+1，c=b-1，利用余弦定理表示出cosC，代入已知等式，整理求出b的值，进而求出a与c的值，得到三边之比，利用正弦定理求出所求式子之比即可．

解答： 解：∵在△ABC中，∠A＞∠B＞∠C，
∴a＞b＞c，
∵三边的长为连续自然数，
∴a=b+1，c=b-1，
∵cosC=

a2+b2-c2

2ab

，a=2ccosC，
∴a=2c•

a2+b2-c2

2ab

=

c(a2+b2-c2)

ab

，
整理得：a²b-a²c=b²c-c³，
分解得：a²（b-c）=c（b+c）（b-c），
∵b≠c，b-c≠0，
∴a²=c（b+c），即（b+1）²=（b-1）（2b-1），
整理得：b²+2b+1=2b²-3b+1，即b（b-5）=0，
解得：b=5（b=0舍去），
∴a=6，c=4，
∵a：b：c=6：5：4，
∴由正弦定理得：sinA：sinB：sinC=6：5：4．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，熟练掌握定理是解本题的关键．