Question

【题目】在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为 （t为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2=4 ρsin（θ+ ）﹣4．
（Ⅰ）求曲线C2的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；
（Ⅱ）若曲线C1与曲线C2交于A、B两点，求|AB|的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵曲线C2的极坐标方程为ρ2=4 ρsin（θ+ ）﹣4=4ρsinθ+4ρcosθ﹣4， ∴由ρ2=x2+y2 ， ρsinθ=y，ρcosθ=x，
得到曲线C2的直角坐标方程为：x2+y2=4y+4x﹣4，
整理，得：（x﹣2）2+（y﹣2）2=4，
∴曲线C2表示以（2，2）为圆心，以2为半径的圆．
（Ⅱ）∵曲线C1的参数方程为 （t为参数），
∴消去参数得曲线C1的直角坐标方程为tanαx﹣y﹣tanα+1=0，
当曲线C1过圆心C2（2，2）时，tanα=1，α=45°，
此时|AB|取最大值2r=2 ．
圆心C2（2，2）到曲线C1：tanαx﹣y﹣tanα+1=0的距离为：
d= = ，
|AB|=2× =2 =2 ，
∴当tanα=0，即α=0时，|AB|取最小值2
【解析】（Ⅰ）∵曲线C2的极坐标方程转化为ρ2=4ρsinθ+4ρcosθ﹣4，由ρ2=x2+y2 ， ρsinθ=y，ρcosθ=x，得：（x﹣2）2+（y﹣2）2=4，由此得到曲线C2表示以（2，2）为圆心，以2为半径的圆．（Ⅱ）消去参数得曲线C1的直角坐标方程为tanαx﹣y﹣tanα+1=0，求出圆心C2（2，2）到曲线C1：tanαx﹣y﹣tanα+1=0的距离d，|AB|=2× ，由此能求出结果．