Question

7．已知函数f（x）=2cos²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx，g（x）=xe^-x．
（1）当x∈R时，求函数f（x）的单调递减区间；
（2）若对任意x₁∈[1，3]，x₂∈[0，$\frac{π}{2}$]，不等式g（x₁）+a+3＞f（x₂）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先利用将次公式和两角和的正弦公式将f（x）化简得f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，令2kπ$+\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$解出单调递减期间；
（2）令g（x₁）+a+3在[1，3]上的最小值大于f（x₂）在区间$[0，\frac{π}{2}]$上的最大值即可．

解答 解：（Ⅰ）$f（x）=cos2x+1+\sqrt{3}sin2x=2sin（2x+\frac{π}{6}）+1$．
当$2kπ+\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{3π}{2}$，
即$kπ+\frac{π}{6}≤x≤kπ+\frac{2π}{3}$，k∈Z时，函数f（x）单调递减，
所以函数f（x）的单调递减区间为$[kπ+\frac{π}{6}，kπ+\frac{2π}{3}]k∈Z$．
（Ⅱ）对任意${x_1}∈[1，3]，{x_2}∈[0，\frac{π}{2}]$，要使不等式g（x₁）+a+3＞f（x₂）恒成立，
只需g（x₁）+a+3在[1，3]上的最小值大于f（x₂）在区间$[0，\frac{π}{2}]$上的最大值．
当$x∈[{0\;，\frac{π}{2}}]$时，有 $2x+\frac{π}{6}∈[{\frac{π}{6}\;，\frac{7π}{6}}]$，
∴当$2x+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$即$x=\frac{π}{6}$时，$sin（2x+\frac{π}{6}）$有最大值1，f（x）有最大值3．
所以当${x_2}∈[0，\frac{π}{2}]$时，f（x₂）的最大值为3．
又由g（x）=x e^-x得   g′（x）=e^-x-x e^-x=（1-x） e^-x，当1≤x≤3时，g'（x）≤0．
∴g（x）在区间[1，3]上是减函数，当x₁∈[1，3]时，g（x₁）有最小值$g（3）=\frac{3}{{{{e}^3}}}$．
所以g（x₁）+a+3的最小值为$\frac{3}{{{{e}^3}}}+a+3$．
令$\frac{3}{{{{e}^3}}}+a+3$＞3得  $a＞-\frac{3}{{{{e}^3}}}$，所以实数a的取值范围是$（-\frac{3}{{{{e}^3}}}，+∞）$．

点评 本题考查了三角函数的单调区间和函数恒成立问题，将问题转化为函数的最值问题是关键．