Question

设函数f（x）的定义域关于原点对称，对定义域内任意的x存在x₁和x₂，使x=x₁-x₂，且满足：
（1）；
（2）当0＜x＜4时，f（x）＞0
请回答下列问题：
（1）判断函数的奇偶性并给出理由；
（2）判断f（x）在（0，4）上的单调性并给出理由．

Answer 1

解：（1）函数f（x）在定义域内是奇函数．
因为在定义域内，对任意x存在x₁和x₂，使x=x₁-x₂，且满足：；
由于函数f（x）的定义域关于原点对称，-x必与x同时在定义域内，
同样存在x₁和x₂，使-x=x₂-x₁，且满足：，即f（x）=-f（-x），
∴f（-x）=-f（x），
∴函数f（x）在定义域内是奇函数．
（2）函数f（x）在（0，4）上是单调递增函数．
任意取x₁，x₂∈（0，4），且x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，
∵函数f（x）在定义域内是奇函数，且当0＜x＜4时，f（x）＞0，
∴f（x₁）＞0，f（x₂）＞0，f（x₁-x₂）=-f（x₂-x₁）＜0，
又∵，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，∴f（x₁）＜f（x₂），
∴函数f（x）在（0，4）上是单调递增函数．
分析：（1）对定义域内任意x存在x₁和x₂，使x=x₁-x₂，同样存在x₁和x₂，使-x=x₂-x₁，根据条件（1）可得f（x₁-x₂）与f（x₂-x₁）的关系，即f（x）与f（-x）间的关系，根据奇偶函数定义即可判断；
（2）任意取x₁，x₂∈（0，4），且x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，由奇函数性质可得f（x₁-x₂）的符号，再由条件（1）可比较f（x₁）与f（x₂）的大小，根据增减函数的定义即可判断；
点评：本题考查抽象函数奇偶性、单调性的判断，属中档题，定义是解决该类问题的基本方法．