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【题目】设n≥2,n∈N* , 有序数组(a1 , a2 , …,an)经m次变换后得到数组(bm1 , bm2 , …,bmn),其中b1i=ai+ai+1 , bmi=bm1i+bm1i+1(i=1,2,…,n),an+1=a1 , bm1n+1=bm11(m≥2).例如:有序数组(1,2,3)经1次变换后得到数组(1+2,2+3,3+1),即(3,5,4);经第2次变换后得到数组(8,9,7).
(1)若ai=i(i=1,2,…,n),求b35的值;
(2)求证:bmi= ai+jCmj , 其中i=1,2,…,n. (注:i+j=kn+t时,k∈N* , i=1,2,…,n,则ai+j=a1

【答案】
(1)解:依题意(1,2,3,4,5,6,7,8,…,n),

第一次变换为(3,5,7,9,11,13,15,…,n+1),

第二次变换为(8,12,16,20,24,28,…,n+4),

第三次变换为(20,28,36,44,52,…,n+12),

∴b35=52


(2)解:用数学归纳法证明:对m∈N*,bmi= ai+jCmj,其中i=1,2,…,n,

(i)当m=1时,b1i= ai+jC1j,其中i=1,2,…,n,结论成立,

(ii)假设m=k时,k∈N*时,bki= ai+jCkj,其中i=1,2,…,n,

则m=k+1时,bk+1i=bki+bki+1= ai+jCkj+ ai+j+1Ckj= ai+jCkj+ ai+j+1Ckj1

=aiCk0+ ai+j(Ckj+Ckj1)+ai+k+1Ckk

=aiCk+10+ ai+jCk+1j+ai+k+1Ck+1k+1

= ai+jCk+1j

所以结论对m=k+1时也成立,

由(i)(ii)可知,对m∈N*,bmi= ai+jCmj,其中i=1,2,…,n成立


【解析】(1)根据新定义,分别进行1次,2次,3次变化,即可求出答案,(2)利用数学归纳法证明即可.

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【解析】试题分析:

(1)设所求直线方程为利用圆心到直线的距离等于半径可得关于b的方程,解方程可得则所求直线方程为

(2)方法1:假设存在这样的点由题意可得,然后证明为常数为即可.

方法2:假设存在这样的点,使得为常数,则据此得到关于的方程组,求解方程组可得存在点对于圆上任一点,都有为常数.

试题解析:

(1)设所求直线方程为,即

∵直线与圆相切,∴,得

∴所求直线方程为

(2)方法1:假设存在这样的点

为圆轴左交点时,

为圆轴右交点时,

依题意,,解得,(舍去),或.

下面证明点对于圆上任一点,都有为一常数.

,则

从而为常数.

方法2:假设存在这样的点,使得为常数,则

,将代入得,

,即

恒成立,

,解得(舍去),

所以存在点对于圆上任一点,都有为常数.

点睛:求定值问题常见的方法有两种:

(1)从特殊入手,求出定值,再证明这个值与变量无关.

(2)直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值.

型】解答
束】
22

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