[题目][2014高考课标2理数18]如图.四棱锥P-ABCD中.底面ABCD为矩形.PA⊥平面ABCD.E为PD的中点.(Ⅰ)证明:PB∥平面AEC,(Ⅱ)设二面角D-AE-C为60°.AP=1.AD=.求三棱锥E-ACD的体积. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】【2014高考课标2理数18】如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，

E为PD的中点.

（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；

（Ⅱ）设二面角D-AE-C为60°，AP=1，AD=，求三棱锥E-ACD的体积.

【答案】

【解析】（Ⅰ）证明：设O为AC与BD交点，连结OE，则由矩形ABCD知：O为BD的中点，因为E是BD的中点，所以OE∥PB，因为OE面AEC，PB面AEC，所以PB∥平面AEC。

（Ⅱ）以A为原点，直线AB、AD、AP分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，设AB=m，则

是平面AED的一个法向量，设是平面AEC的法向量，则

，解得，，所以令，得，所以

=，因为二面角的大小与其两个半平面的两个法向量的夹角相等哉互补，所以=，解得，因为E是PD的中点，所以三棱锥E-ACD的高为，所以三棱锥E-ACD的体积为==.

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