Question

在数列{a_n}中，已知a₁=2，a_n+1=4a_n-3n+1，n∈N^*．
（1）设b_n=a_n-n，求数列{b_n}的通项公式；
（2）设数列a_n的前n项和为S_n，证明：对任意的n∈N^*，不等式S_n+1≤4S_n恒成立．

Answer 1

分析：（1）直接利用条件求b_n+1和b_n的关系即可找到数列{b_n}的规律，进而求数列{b_n}的通项公式；
（2）先求出数列{a_n}的通项公式；，再对其分组求和求出前n项和为S_n，再对S_n+1与4S_n恒作差比较即可判断．

解答：解：（1）∵b_n+1=a_n+1-（n+1）=4a_n-3n+1-（n+1）=4（a_n-n）=4b_n（3分）
且b₁=a₁-1=1（14分）∴b_n为以1为首项，以4为公比的等比数列∴b_n=b₁q^n-1=4^n-1（5分）
（2）∵a_n=b_n+n=4^n-1+n，（6分）∴Sn=

4n-1

3

+

n(n+1)

2

（8分）
∴Sn+1-4Sn=

4n+1-1

3

+

(n+1)(n+2)

2

-4[

4n-1

3

+

n(n+1)

2

]=-

1

2

(3n+4)(n-1)≤0（11分）
∴不等式S_n+1≤4S_n对任意的n∈N^*皆成立（12分）

点评：本题主要考查由递推公式推导数列的通项公式以及等差等比数列求和公式的应用．是中档题．