Question

某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元．
（I）当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？
（II）设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为P元，写出函数P=f（x）的表达式；
（ III）记该厂获得的利润Q（元）与订购量x（个）之间的函数为Q=g（x），试写出函数g（x）的表达式，并求该厂希望获得3600元利润时所需的定购量．（工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价-成本）

Answer 1

分析：（I）根据出厂单价定为60元，实际出厂单价恰为51元，当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，即可求出一次订购量；
（II）根据题意，零件的实际出厂单价是个分段函数，结合（I）可分段写出对应的函数，从而得出函数P=f（x）的表达式；
（III）利润为实际出厂单价与零件的成本的差乘以一次订购零件量，可得函数g（x）的表达式；根据不等式，利用利润为3600元，可得方程，从而可得结论．

解答：解：（I）设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时，一次订购量为x₀个，则x₀=100+

60-51

0.02

=550
因此，当一次订购量为550个时，零件的实际出厂单价恰为51元；　　　　　　
（II）当0＜x≤100时，P=60；当100＜x＜550时，P=60-0.02（x-100）=62-

x

50

；当x≥550时，P=51，
∴P=f（x）=

60，0＜x≤100 62- x 50 ，100＜x＜550 51，x≥550

，（x∈N）；
（III）设销售商一次订购零件量为x个时，则
Q=g（x）=（P-40）x=

20x，0＜x≤100 22x- x2 50 ，100＜x＜550 11x，x≥550

，（x∈N）
该厂希望获得3600元利润，则22x-

x2

50

=3600，∴x²-1100x+180000=0
∴x=200或x=900（舍去）
即该厂希望获得3600元利润时所需的定购量为200个

点评：本题重点考查利用函数的模型解决实际问题的能力．要先根据题意列出函数关系式，再代数求值．解题的关键是要分析题意根据实际意义求解．注意分段函数要根据自变量的范围分段求得解析式