Question

1．在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x²+y²=b²经过椭圆$E：\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{b^2}=1$（0＜b＜2）的焦点．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）设直线l：y=kx+m交椭圆E于P，Q两点，T为弦PQ的中点，M（-1，0），N（1，0），记直线TM，TN的斜率分别为k₁，k₂，当2m²-2k²=1时，求k₁•k₂的值．

Answer 1

分析 （1）椭圆E的焦点在x轴上，圆O：x²+y²=b²经过椭圆E的焦点，所以椭圆的半焦距c=b，所以2b²=4，即b²=2，即可求出椭圆E的方程；
（2）求出T的坐标，利用斜率公式，结合条件，即可求k₁•k₂的值．

解答 解：（1）因0＜b＜2，所以椭圆E的焦点在x轴上，
又圆O：x²+y²=b²经过椭圆E的焦点，所以椭圆的半焦距c=b，…（3分）
所以2b²=4，即b²=2，所以椭圆E的方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$．…（6分）
（2）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），T（x₀，y₀），
联立$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1\\ y=kx+m\end{array}\right.$，消去y，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-4=0，
所以${x_1}+{x_2}=-\frac{4km}{{1+2{k^2}}}$，又2m²-2k²=1，所以x₁+x₂=$-\frac{2k}{m}$，
所以${x_0}=-\frac{k}{m}$，${y_0}=m-k•\frac{k}{m}=\frac{1}{2m}$，…（10分）
则${k_1}•{k_2}=\frac{{\frac{1}{2m}}}{{-\frac{k}{m}+1}}•\frac{{\frac{1}{2m}}}{{-\frac{k}{m}-1}}=\frac{1}{{4{k^2}-4{m^2}}}=\frac{1}{{-2（2{m^2}-2{k^2}）}}=-\frac{1}{2}$．…（14分）

点评 本题考查椭圆的方程与性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，属于中档题．